LA NUOVA COLLANA DI LE SCIENZE DEDICATA AI GRANDI TEOREMI MATEMATICI.4° VOLUMETEOREMI DI EUCLIDE E PRIMO LIBRO DEGLI ELEMENTIGli Elementi di Euclide, scritti intorno al 300 a.C., compendiano e organizzano assiomaticamente gran parte dei risultati matematici (geometrici, aritmetici e algebrici) degli studiosi dei tre secoli precedenti. La loro caratteristica più importante è che, inizialmente, si assumono, senza dimostrarle, alcune proposizioni, dette usualmente proposizioni primitive o assiomi. E alcuni termini indefiniti, come «un punto è ciò che non ha parte» e «una linea è una lunghezza senza larghezza». Procedendo da questi termini, Euclide definì ulteriori concetti come angoli, cerchi, poligoni, le loro proprietà nonché le relazioni fra essi.Negli Elementi si trova quindi tutto ciò che sarebbe servito allo sviluppo della geometria nei secoli successivi, fino alla nostra epoca. Tra i numerosi teoremi, spiccano i due che hanno per oggetto i triangoli rettangoli: «In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha come lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa» (dal quale deriva il teorema di Pitagora) e «In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha come lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa». I due teoremi, oltre a rappresentare due punti fermi nello studio della geometria piana, hanno introdotto le nozioni di equivalenza, proporzionalità tra segmenti e tra figure piane, e hanno permesso di sviluppare entità matematiche come sezione aurea e rettangolo aureo, e le proprietà del pentagono regolare, da cui discende il concetto di numeri irrazionali.

LA NUOVA COLLANA DI LE SCIENZE DEDICATA AI GRANDI TEOREMI MATEMATICI.11° VOLUMETEOREMA DEI QUATTRO COLORISviluppato in modo informale e non accademico a metà Ottocento, più che altro come una curiosità, il teorema dei quattro colori è diventato un capitolo a sé nel mondo della matematica. Il suo enunciato è semplice: ogni mappa nel piano è colorabile con soli quattro colori, in modo che regioni adiacenti abbiano colori differenti. La ricerca di dimostrazioni iniziò subito, facendo ricorso ai più diversi strumenti matematici, compresa la teoria dei grafi, ma solo nel 1976 i matematici Appel e Haken sono giunti a una dimostrazione che al momento è giudicata soddisfacente solo da una parte della comunità scientifica. Parte di essa infatti richiede l’uso di un supercalcolatore. Tanto che, per alcuni studiosi, più che di un teorema bisognerebbe parlare di congettura.Se inizialmente fu la cartografia ottocentesca a giovarsi del teorema, oggi le applicazioni e le sue ramificazioni (che non riguardano più i colori in quanto tali, ma la distribuzione combinatoria di diversi elementi tra i più eterogenei) si estendono nei campi più diversi: dalla determinazione di fasce orarie all’allocazione di risorse, alla gestione del traffico.

LA NUOVA COLLANA DI LE SCIENZE DEDICATA AI GRANDI TEOREMI MATEMATICI.15° VOLUMETEOREMA DI LAGRANGE O DEL VALOR MEDIOIl teorema del valor medio di Lagrange si applica a funzioni di variabile reale abbastanza regolari e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi. In termini puramente matematici, afferma che data una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato e derivabile nei punti interni esiste almeno un punto interno a questo intervallo tale che la sua derivata prima equivalga al rapporto incrementale negli estremi dell’intervallo. Il teorema di Lagrange, come tutta la ricerca matematica sul calcolo e sull’analisi differenziale, ha dovuto fare i conti con i concetti di infinito e di infinitesimo. All’epoca di Lagrange, il calcolo differenziale non era ancora maturo e rigoroso, quindi il matematico per ricavare i propri risultati fece riferimento alla serie di Taylor. Utilizzò la formula dello sviluppo in serie col resto, che oggi chiamiamo “Formula di Taylor col resto di Lagrange”. Tuttavia, l’ossessione di Lagrange per il rigore dei fondamenti indicò ai matematici che era non solo necessario ma anche possibile fondare il calcolo differenziale su basi rigorose. Cauchy ne fu fortemente influenzato e, finalmente, nel secondo ventennio dell’Ottocento, pose i mattoni fonda-mentali che risolsero il millenario problema di usare in modo appropriato l’infinito e l’infinitesimo. Il teorema del valore medio nella sua forma moderna fu enunciato e dimostrato, sempre da Cauchy, nel 1823. Il teorema di Lagrange ha molti corollari; per esempio, se la derivata è nulla in tutto l’intervallo la funzione esaminata è costante in tutto l’intervallo

LA NUOVA COLLANA DI LE SCIENZE DEDICATA AI GRANDI TEOREMI MATEMATICI.18° VOLUMETEOREMA DI ABEL-RUFFINIDa quasi quattromila anni le civiltà si sono confrontate con la risoluzione delle equazioni; inizialmente di primo grado, poi di secondo, infine quelle di terzo e quarto, finché, giunti alle equazioni di grado superiore al quarto, i matematici si trovarono davanti all’impossibilità di raggiungere un metodo risolutivo. Tuttavia, occorreva dimostrare tale impossibilità. Nell’Ottocento, il primo a proporre una dimostrazione, sia pure incompleta, del fatto che l’equazione generale di grado 5 non fosse risolubile per radicali fu il matematico modenese Paolo Ruffini. Poco dopo, il norvegese Niels Abel dette la dimostrazione completa del teorema d’impossibilità. Il teorema di Abel-Ruffini afferma, così, che in generale non è possibile scrivere le soluzioni di un’equazione polinomiale di grado maggiore di 4 in funzione dei coefficienti del polinomio utilizzando solo le quattro operazioni aritmetiche e l’estrazione di radici di indici opportuni. Ciò non significa che per tutti i polinomi di grado 5 sia impossibile scrivere le radici in funzione dei coefficienti, ma che non esiste una formula risolutiva generale. Tale risultato fu poi inserito in una teoria più generale da Évariste Galois, al quale si deve la conclusiva classificazione dei polinomi come risolubili o non risolubili per radicali a seconda del loro “gruppo di Galois”. Sono seguite infine tecniche diverse (come il metodo di Newton o l’uso di matrici) per il calcolo delle soluzioni approssimate di un’equazione polinomiale in specifici domini, ma una formula generale resta impossibile da ottenere.

LA NUOVA COLLANA DI LE SCIENZE DEDICATA AI GRANDI TEOREMI MATEMATICI.19° VOLUMETEOREMA DI CAUCHY-KOVALEVSKAJA PER LE EQUAZIONI DIFFERENZIALIIl teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy afferma che la soluzione di un’equazione differenziale, sia ordinaria sia alle derivate parziali, di ordine n esiste ed è localmente unica, sotto alcune condizioni. Tuttavia, per parallelismo con il teorema fondamentale dell’algebra che vale nei numeri complessi, queste soluzioni vanno cercate nell’ambito delle funzioni analitiche. E come per il teorema fondamentale dell’algebra i coefficienti dell’equazione algebrica vengono riguardati in campo complesso per dare radici complesse, così Cauchy cercò soluzioni analitiche a equazioni differenziali ordinarie che avessero coefficienti analitici e solo attorno a punti non singolari. Entrò allora in scena la giovane matematica russa Sof’ja Kovalevskaja, studentessa ancora senza titoli, che generalizzò il teorema di Cauchy dimostrando l’esistenza di soluzioni a un sistema di m equazioni differenziali in n dimensioni quando i coefficienti sono funzioni analitiche. Questo teorema deve quindi la sua importanza proprio al fatto di essere l’unico risultato così generale in ambito delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Il teorema e la sua dimostrazione sono validi per funzioni analitiche di variabili reali o complesse e non si ha alcun risultato di dipendenza continua rispetto alle condizioni iniziali. L’equazione di Klein-Gordon in fisica matematica, l’analisi numerica, la geometria differenziale e l’analisi funzionale sono esempi in cui è applicabile il teorema di Cauchy-Kovalevskaja.

LA NUOVA COLLANA DI LE SCIENZE DEDICATA AI GRANDI TEOREMI MATEMATICI.20° VOLUMETEOREMA DI PEREL’MAN-POINCARÉLa congettura di Poincaré, formulata dal matematico francese nel 1904, riguarda la caratterizzazione della sfera a tre dimensioni, che è l’ipersfera che delimita la sfera unitaria nello spazio quadridimensionale. E consente di verificare se una varietà tridimensionale compatta e semplicemente connessa sia topologicamente equivalente a una sfera tridimensionale, rappresentando effettivamente solo una deformazione di tale sfera. Poincaré ipotizzò che se tale spazio ha la proprietà aggiuntiva che ogni anello nello spazio possa essere continuamente stretto fino a un punto, allora è necessariamente omeomorfo a una sfera tridimensionale. Per tutto il Novecento si moltiplicarono i tentativi di dimostrarne la verità o la falsità. Nel 1982, il matematico Richard Hamilton utilizzò il cosiddetto flusso di Ricci per risolvere il problema, lavoro completato dal russo Grigorij Perel’man nel 2003 con la dimostrazione della congettura. Il Clay Mathematics Institute, che aveva incluso la congettura di Poincaré nella lista dei problemi irrisolti del Millennio, offrì a Perel’man il premio di un milione di dollari, ma il matematico lo rifiutò, affermando che il contributo di Hamilton era stato pari al suo. 

LA NUOVA COLLANA DI LE SCIENZE DEDICATA AI GRANDI TEOREMI MATEMATICI.21° VOLUMETEOREMA DEI NUMERI PRIMII numeri primi hanno affascinato fin dall’antichità, spingendo già Eratostene (III-II secolo a.C.) a formulare un algoritmo (il famoso crivello) per individuarli. Ma come si distribuiscono i numeri primi nell’insieme infinito dei numeri? Fu Eulero, nel Settecento, a occuparsi della loro frequenza, tenendo presente che a mano a mano che questi diventano più grandi, risultano anche meno comuni. Nell’Ottocento, Gauss e Lagrange formularono congetture sull’ordine di grandezza della funzione che conta i numeri primi fino a una certa soglia N, quando si fa tendere N all’infinito; fu in pratica la prima formulazione del teorema dei numeri primi. Il tentativo di dimostrare queste congetture attraversa l’intero XIX secolo. Ma fu Berhard Riemann, con un lavoro pionieristico e rivoluzionario, a porre le basi per una dimostrazione del teorema che prese una strada del tutto inattesa. Infatti, Riemann scoprì che i numeri primi sono intimamente collegati con una certa funzione, poi detta funzione zeta di Riemann, introdotta da Eulero un secolo prima; il fatto sorprendente scoperto da Riemann è che per capire veramente come sono distribuiti i numeri primi bisogna studiare questa funzione nel campo dei numeri complessi, e in particolare conoscere la posizione dei suoi zeri complessi. Grazie a ciò, nel 1896 Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée Poussin riuscirono a dimostrare il teorema. Le applicazioni del teorema restano confinate nell’ambito della matematica, dove le idee della dimostrazione hanno generato nuove parti di questa scienza che si occupano di crittografia e teoria dei numeri.

LA NUOVA COLLANA DI LE SCIENZE DEDICATA AI GRANDI TEOREMI MATEMATICI.22° VOLUMETEOREMA DI FOURIERI grandi matematici Daniel Bernoulli e Leonhard Euler avevano già studiato alcune proprietà delle serie infinite, ma nessuno aveva mai avuto l’ardire di affermare, come fece in modo così audace Fourier nel 1822, che ogni funzione potesse essere espressa come somma di una serie di funzioni trigonometriche. In particolare, una serie di Fourier è la rappresentazione di una funzione periodica mediante una combinazione lineare di funzioni sinusoidali. Fino a quell’epoca, infatti, una funzione era identificata o dal suo grafico o dalla sua espressione analitica data da una composizione di funzioni elementari: somme, prodotti, potenze, esponenziali, funzioni trigonometriche e iperboliche, radici, logaritmi. L’idea che una funzione ?(x) qualunque, anche non derivabile o addirittura discontinua, potesse essere scritta come una serie di funzioni tra le più regolari che esistono, in quanto derivabili infinite volte, come quelle trigonometriche, sembrava un’assurdità. Anche se oggi sappiamo che la serie di Fourier non è vera nella sua generalità perché occorrono delle condizioni minimali su ? affinché questo possa accadere, il lavoro del matematico francese resta un cardine fondamentale di qualunque scienza, dall’analisi chimico-fisica delle sostanze come spettroscopia e spettrometria, all’indagine delle onde di ogni tipo emesse dai corpi celesti o da dispositivi terrestri, fino al campionamento e alla compressione dei segnali analogico-digitali (musica, immagini fisse e in movimento).